Оптимальное управление температурным режимом помещения. Будем рассматривать модель оптимального управления температурным режимом помещения. ...
Условие:
Оптимальное управление температурным режимом помещения. Будем рассматривать модель оптимального управления температурным режимом помещения. Данная модель может найти практическое применение для решения задачи соблюдения оптимального температурного режима, в таких помещениях как хранилища библиотечных фондов, музейные запасники, зерно- и овощехранилища, инкубаторы, операционные, лаборатории, производящие лекарственные препараты, сыворотки, вакцины и т.д. Во всех перечисленных случаях важнейшим фактором служат естественные и создаваемые искусственно условия среды хранения. Основной показатель внешней среды – это воздух с его физическими свойствами, постоянными химическим составом частей и посторонними газами, механическими примесями и микрофлорой. Температурный показатель является наиболее важным, так как во многом определяет остальные. Поэтому важно уметь поддерживать его оптимальные значения. Рассмотрим процесс изменения температуры в помещении с двумя смежными комнатами и нагревателем (кондиционером), расположенным в первой из них. Обозначим через и - температуры, а т1 и т2 – массы воздуха в первой и второй комнатах соответственно; k1 – коэффициент теплообмена между комнатами; k – число, характеризующее потери за счет конвекции ; с – теплоемкость воздуха; А – температура наружного воздуха; - управление количеством теплоты, выделяемым нагревателем, расположенным в первой комнате. Температуру в комнатах и температуру наружного воздуха будем измерять в Кельвинах (К); массу воздуха – в килограммах (кг); управление, выражающее количество теплоты в единицу времени, − в ваттах ; − характеризует изменение температуры воздуха в комнате в единицу времени и измеряется в . Пусть требуется нагреть первую комнату до температуры В1, а вторую комнату до температуры В2 за заданное время при минимальных расходах на управление. Введем коэффициенты приоритета . Математическая модель управляемого процесса может быть представлена в виде следующей задачи оптимального управления. Требуется найти минимум функционала (1) при динамических ограничениях (2) (3) начальных условиях и ограничении на управление . (5)
Решение:
Введение
Оптимальное управление температурным режимом помещения является актуальной задачей, которая имеет практическое применение в различных областях, таких как хранилища, музеи, лаборатории и другие. В данной работе будет рассмотрена модель оптимального управления температурным режимом помещения с использованием математической модели.
Математическая модель
Рассмотрим процесс изменения температуры в помещении с двумя смежными комнатами и нагревателем (кондиционером), расположенным в первой комнате. Обозначим через T1 и T2 - температуры, а m1 и m2 – массы воздуха в первой и второй комнатах соответственно; k1 – коэффициент теплообмена между комнатами; k – число, характеризующее потери за счет конвекции; c – теплоемкость воздуха; A – температура наружного воздуха; u - управление количеством теплоты, выделяемым нагревателем, расположенным в первой комнате. Температуру в комнатах и температуру наружного воздуха будем измерять в Кельвинах (К); массу воздуха – в килограммах (кг); управление, выражающее количество теплоты в единицу времени, − в ваттах (Вт); dT1/dt и dT2/dt − характеризует изменение температуры воздуха в комнате в единицу времени и измеряется в Кельвинах в секунду (К/с).
Математическая модель может быть представлена в виде следующей задачи оптимального управления:
Требуется найти минимум функционала J:
J = ∫(α1(T1 - B1)^2 + α2(T2 - B2)^2 + βu^2)dt (1)
при динамических ограничениях:
dT1/dt = (k1(T2 - T1) + u)/m1c (2)
dT2/dt = (k1(T1 - T2))/m2c (3)
начальных условиях:
T1(0) = T10, T2(0) = T20 (4)
и ограничении на управление:
|u| ≤ Umax (5)
где α1, α2, β - коэффициенты приоритета, B1, B2 - требуемые температуры в комнатах, T10, T20 - начальные температуры, Umax - максимальное значение управления.
Решение задачи оптимального управления
Для решения задачи оптимального управления можно использовать различные методы, такие как метод максимума принципа максимума Понтрягина или метод динамического программирования. В данной работе будет использован метод динамического программирования.
Сначала необходимо составить функцию Гамильтона-Понтрягина:
H = α1(T1 - B1)^2 + α2(T2 - B2)^2 + βu^2 + λ1((k1(T2 - T1) + u)/m1c) + λ2((k1(T1 - T2))/m2c) (6)
где λ1 и λ2 - множители Лагранжа.
Затем необходимо найти условия оптимальности, которые представляют собой систему уравнений:
∂H/∂u = 2βu + λ1/m1c = 0 (7)
∂H/∂T1 = 2α1(T1 - B1) - λ1k1/m1c - λ2k1/m2c = 0 (8)
∂H/∂T2 = 2α2(T2 - B2) + λ1k1/m1c + λ2k1/m2c = 0 (9)
∂H/∂λ1 = (k1(T2 - T1) + u)/m1c = 0 (10)
∂H/∂λ2 = (k1(T1 - T2))/m2c = 0 (11)
Решая эту систему уравнений, можно найти оптимальное управление и оптимальные значения температур.
Заключение
Таким образом, модель оптимального управления температурным режимом помещения может быть представлена в виде задачи оптимального управления. Для решения этой задачи можно использовать метод динамического программирования. Оптимальное управление и оптимальные значения температур могут быть найдены путем решения системы уравнений, полученных из функции Гамильтона-Понтрягина.
