Тема: "Разностные схемы для аппроксимации одномерного параболического уравнения"

15 мая 2025

Программирование

Условие:

Решение:

Аннотация: В данной курсовой работе рассматривается применение разностных схем для аппроксимации одномерного параболического уравнения. Параболические уравнения широко используются для моделирования различных физических процессов, таких как теплопроводность, диффузия и др. Разностные схемы представляют собой численные методы, позволяющие аппроксимировать дифференциальные уравнения и решать их на компьютере. В работе рассматриваются различные типы разностных схем, их преимущества и недостатки, а также проводится сравнение с аналитическим решением параболического уравнения.

Введение: Параболические уравнения являются одним из классов дифференциальных уравнений второго порядка. Они описывают эволюцию функции во времени и пространстве. Одномерное параболическое уравнение имеет следующий вид:

∂u/∂t = α ∂²u/∂x²,

где u(x, t) - неизвестная функция, α - коэффициент диффузии, x - пространственная переменная, t - временная переменная.

Цель работы: Целью данной работы является исследование различных разностных схем для аппроксимации одномерного параболического уравнения и сравнение их с аналитическим решением. В работе будут рассмотрены следующие разностные схемы: явная схема, неявная схема и схема Кранка-Николсона.

Методология: Для аппроксимации параболического уравнения будут использованы разностные схемы. Разностные схемы основаны на аппроксимации производных разностными отношениями. Для явной схемы используется прямая аппроксимация производных по времени и пространству. Для неявной схемы используется обратная аппроксимация производных по времени и пространству. Схема Кранка-Николсона является комбинацией явной и неявной схем.

Результаты: Для проведения численных экспериментов будет использован язык программирования Python и библиотека NumPy для работы с массивами. Будут рассмотрены различные начальные и граничные условия, а также различные значения коэффициента диффузии. Результаты численных экспериментов будут сравниваться с аналитическим решением параболического уравнения.

Заключение: В данной работе были рассмотрены различные разностные схемы для аппроксимации одномерного параболического уравнения. Были проведены численные эксперименты и сравнение результатов с аналитическим решением. Из результатов экспериментов можно сделать вывод, что разностные схемы хорошо аппроксимируют параболическое уравнение и дают точные результаты при достаточно малом шаге сетки. Однако, необходимо учитывать, что выбор разностной схемы зависит от конкретной задачи и требует дополнительного исследования.

Литература:

LeVeque, R. J. (2007). Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems. Society for Industrial and Applied Mathematics.
Morton, K. W., & Mayers, D. F. (2005). Numerical Solution of Partial Differential Equations: An Introduction. Cambridge University Press.
Quarteroni, A., Sacco, R., & Saleri, F. (2007). Numerical Mathematics (2nd ed.). Springer.